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1. 变换对

Fourier（傅里叶变换）:

正变换：$\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

逆变换：$\mathcal{F}^{-1}\{F(j\omega)\}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

Z变换:

$\mathcal{Z}\{x(n)\}(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}$

DTFT（离散时间傅里叶变换）:

正变换：$\mathcal{F}\{x(n)\}(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j\omega n}$

逆变换：$\mathcal{F}^{-1}\{X(e^{j\omega})\}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega$

1.2 DTFT 的性质

1. 线性

2. 时移：$x(n+n_0) \leftrightarrow e^{jn_0\omega} X(e^{j\omega})$ 时同频反

3. 频移：$e^{jn\omega_0} x(n) \leftrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})$

4. 对称

i. 时域特性 若 $x(n) \leftrightarrow X(e^{j\omega})$，则 $x^*(n) \leftrightarrow 2\pi x(e^{-j\omega})$

ii. 序列翻褶 若 $x(n) \leftrightarrow X(e^{j\omega})$，则 $x(-n) \leftrightarrow X(e^{-j\omega})$

iii. 共轭对称性 若 $x(n) \leftrightarrow X(e^{j\omega})$，则 $x^(n) \leftrightarrow X^(e^{-j\omega})$ $x^(-n) \leftrightarrow X^(e^{j\omega})$

iv. 奇偶虚实性 $X_e(j\omega) = \frac{1}{2}(X(e^{j\omega}) + X^*(-j\omega))$

$X_o(e^{j\omega}) = \frac{1}{2}(X(e^{j\omega}) - X^*(-e^{j\omega}))$

a. $Re{x(n)} \leftrightarrow X_e(e^{j\omega})$

b. $j \text{Im}{x(n)} \leftrightarrow X_o(e^{j\omega})$

c. $x_e(n) \leftrightarrow Re{X(e^{j\omega})}$

d. $x_o(n) \leftrightarrow j \text{Im}{X(e^{j\omega})}$

e. 序列为实的DTFT是实偶函数，
序列为虚的DTFT是纯虚奇函数函数。

v. 卷积特性：$x_1(n) * x_2(n) \leftrightarrow X_1(e^{j\omega}) X_2(e^{j\omega})$

$x_1(n) x_2(n) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X_1(e^{j\omega}) * X_2(e^{j\omega})$

vi. 频域微分：$n x(n) \leftrightarrow j \frac{d X(e^{j\omega})}{d\omega}$

vii. Parseval定理：$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$

$X_o(e^{j\omega}) = \frac{1}{2}(X(e^{j\omega}) - X^*(-e^{j\omega}))$

a. $Re{x(n)} \leftrightarrow X_e(e^{j\omega})$

b. $j \text{Im}{x(n)} \leftrightarrow X_o(e^{j\omega})$

c. $x_e(n) \leftrightarrow Re{X(e^{j\omega})}$

d. $x_o(n) \leftrightarrow j \text{Im}{X(e^{j\omega})}$

e. 序列为实的DTFT是实偶函数，序列为虚的DTFT是纯虚奇函数。

v. 卷积特性：$x_1(n) * x_2(n) \leftrightarrow X_1(e^{j\omega}) X_2(e^{j\omega})$

$x_1(n) x_2(n) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X_1(e^{j\omega}) * X_2(e^{j\omega})$

vi. 频域微分：$n x(n) \leftrightarrow j \frac{d X(e^{j\omega})}{d\omega}$

vii. Parseval定理：$\sum_{n \in \mathbb{Z}} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$

1. 3. DTFT变换对

$\delta(n) \leftrightarrow 1$

$1 \leftrightarrow 2\pi \delta(\omega)$

$u(n) \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-j\omega}} + \pi \delta(\omega)$

$a^n u(n) \leftrightarrow \frac{e^{j\omega}}{e^{j\omega} - a}$

$e^{j\omega_0 n} \leftrightarrow 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$

$\cos \omega_0 n \leftrightarrow \pi(\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0))$

$\sin \omega_0 n \leftrightarrow j\pi(\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0))$

$a^{|n|} \leftrightarrow \frac{1-a^2}{1-2a\cos\omega + a^2}$

1. 4. 频率-幅度特性

$H(j\omega) = |H(e^{j\omega})| e^{j\phi(\omega)}$

$\cos(\omega_0 n + \varphi) \rightarrow |H(e^{j\omega_0})| \cos(\omega_0 n + \varphi + \phi(\omega_0))$

其中 $|H(e^{j\omega_0})|$ 为幅度加权，$\phi(\omega_0)$ 为相位加权

$\cos(\omega_0 n + \varphi) u(n) \rightarrow |H(e^{j\omega_0})| \cos(\omega_0 n + \varphi + \phi(\omega_0)) u(n)$

其中 $|H(e^{j\omega_0})|$ 为幅度加权，$\phi(\omega_0)$ 为相位加权

$e^{j\omega_0 n} \rightarrow |H(e^{j\omega_0})| e^{j\omega_0 n} e^{j\phi(\omega_0)}$

其中 $|H(e^{j\omega_0})|$ 为幅度加权，$e^{j\phi(\omega_0)}$ 为相位加权

1. 5. z变换的性质

z变换和DTFT共享大部分性质，

特别地，注意z变换的这些性质

i. 单边移位性质

a. 左移：$x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z) + X(-1)$

b. 左移：$x(n+1) \leftrightarrow z X(z) - X(0)$

ii. 因果周期频率的z变换

$x(n)$因果周期，在第0-1周期中为$x_0(n)$，则

$x(n) \leftrightarrow X_0(z) \frac{1}{1-z^{-N}}$

iii. 幅度加权性质

$a^n x(n) \leftrightarrow X(\frac{z}{a})$

$b^{-k} x(n) \leftrightarrow X(bz)$

$(-1)^k x(n) \leftrightarrow X(-z)$

iv. 微分性质

$n^i x(n) \leftrightarrow (-z \frac{d}{dz})^i X(z)$

v. 积分性质

$\frac{x(n)}{n+m} \leftrightarrow z^m \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{X(\eta)}{\eta^{m+1}} d\eta$

vi. 初值&终值定理

若$x(n)$因果，

$x(0) = \lim_{z \to \infty} X(z)$

$x(1) = \lim_{z \to \infty} z(X(z) - X(0))$

若$X(z)$稳定，

$x(\infty) = \lim_{z \to 1} (z-1) X(z)$

vii. Parseval性质

$\sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \leftrightarrow z^{-1} X(z)$

1. 6. z变换对

$\delta(n) \leftrightarrow 1$，$|z| > 0$

$u(n) \leftrightarrow \frac{z}{z-1}$，$|z| > 1$

$u(-n-1) \leftrightarrow -\frac{z}{z-1}$，$|z| < 1$

$a^n u(n) \leftrightarrow \frac{z}{z-a}$，$|z| > a$

$a^n u(-n-1) \leftrightarrow -\frac{z}{z-a}$，$|z| < a$

$\cos(\omega_0 n) u(n) \leftrightarrow \frac{z^2 - z\cos\omega_0}{z^2 - 2\cos\omega_0 \cdot z + 1}$，$|z| > 0$

$\sin(\omega_0 n) u(n) \leftrightarrow \frac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2\cos\omega_0 \cdot z + 1}$，$|z| > 0$

$e^{-j\omega_0 n} u(n) \leftrightarrow \frac{z}{z - e^{j\omega_0}}$，$|z| > 1$

1. 7. 部分分式法求逆z变换

一重分式：$\frac{F(z)}{\prod_k (z-z_k)} = \sum_k \frac{F_k(z)}{z-z_k}$

$F_k(z) = \frac{F(z)}{\prod_k (z-z_k)} (z-z_k)|_{z=z_k}$

r 重分式：$\frac{F(z)}{(z-z_k)^r} = \sum_{i=0}^{r-1} \frac{K_{1i}}{(z-z_k)^{r-i}}$

$K_{1i} = \frac{1}{(i-1)!} \frac{d^{i-1}}{dz^{i-1}} [(z-a)^r \frac{F(z)}{z}]$

常用变换对：

$a^n u(n) \leftrightarrow \frac{z}{z-a}$

$n a^{n-1} u(n) \leftrightarrow \frac{z}{(z-a)^2}$

$n(n-1) a^{n-2} u(n) \leftrightarrow \frac{2z}{(z-a)^3}$

记忆方法：两边同时对$a$求导

1. 7 DFT 的性质

2. DFT（离散傅里叶变换）

定义：

$DFT(x(n)) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) w_N^{-nk}$

$DFT^{-1}(X(k)) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(n) w_N^{nk}$

其中 $w_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$

i. 线性

ii. 循环移位

$DFT(x(n+m)) = w_N^{-km} DFT(x(n))$

iii. 对称性质

$x^(n) \leftrightarrow X^(-k)$

$X^(-n) \leftrightarrow X^(k)$

iv. 频域抽样定理

对于m点序列，可以由频域元素完全确定序列，当且仅当DFT点数 $N \geq M$。

v. 循环反转性质

$x((-n))_N \leftrightarrow X((-k))_N$

称

$ x((-n))_N=x(0), n = 0$

$ x((-n))_N=x(N-n), n \ne 0$

为序列的循环反转。

vi. 更多对称性质

a. 对偶性质

若 $x(n) \leftrightarrow X(k)$，则 $X(n) \leftrightarrow N x((-k))_N$

b. 奇偶虚实性

$Re(x(n)) \leftrightarrow X_e(k)$

$j Im(x(n)) \leftrightarrow X_o(k)$

$x_e(n) \leftrightarrow Re(X(k))$

$x_o(n) \leftrightarrow j Im(X(k))$

实偶序列的DFT具有实偶函数，

实奇序列的DFT具有纯虚奇函数。