DSP真是太坏了！
约定：本文使用大写希腊字母Ω表示模拟角频率，使用小写希腊字母ω表示数字角频率或基波角频率。
抽样
最常用的抽样序列——周期冲激函数（Dirac 梳状函数）
我们先来定义周期冲激函数：
对于模拟信号 f(t) ，取抽样序列 p(t) ，可得抽样序列：
理想抽样下，取周期冲激函数为 p(t)，其满足：
其中
对周期冲激序列做 Fourier 展开，得
类似地，其 Fourier 变换的 Fourier 展开为
使用周期冲激函数抽样能够在频域分析上带来方便（因为冲激函数的 Fourier 变换是 1），这样，之后通过内插公式回复原始信号时，Sa函数的移位求和前不会被其他函数加权。但是，由于周期冲激函数毕竟是理想模型，实际抽样时如果采取矩形抽样，则会引入Sa函数作为加权项，让内插公式的形式变得复杂。
抽样与内插
如上，抽样的本质是得到了一个离散序列
我们在时域上已经不能做什么了，不妨在频域上分析一下这个函数，对f_s(t)做 Fourier 变换，可知
事实上，这是F(j\Omega)的周期延拓，亦即
由此，我们就完成了对信号的抽样。现在考虑信号的恢复，由于频域上是对F(j\Omega)的周期延拓，而一个周期内就已经承载了全部信息（事实上，时域无限则频谱有限，时域有限则频谱无限，不过我们姑且不管这个），因此，我们考虑用理想低通滤波器，只留下第一个周期内的信息，理想低通滤波器的定义为
事实上，这是一个物理不可实现系统，因为门函数的 Fourier 反变换就是 Sa 函数，这是一个非因果信号。不过为了理论分析，让我们继续往下推。
由于通过理想低通滤波器只是在频域上乘上一个函数，我们已经不能继续往下推进了，不妨让我们放到时域上分析，对H(j\Omega)做 Fourier 反变换，得到：
从而得到
这就是内插公式。
事实上，内插公式的更一般的写法为
离散时间序列及其角频率
计算机处理离散序列是不能处理值为无限的冲击串的，我们输入计算机的必然是这些点的位置及其强度，因此对于f(t)以T_s为周期抽样时有
去掉T_s是因为我们在计算机中也不关心抽样周期，只要我们知道抽样周期是什么，后面能将这些信号回复出来就足够了。
假设f有基波角频率\Omega，对其抽样后可得
将\omega和T_s合并在一个量\Omega中，由此得到了数字角频率
事实上，数字角频率也等于归一化角频率*2pi，亦即