1. 通法

1.1. 拆分有理分式

如果原分母为线性式，该项对应的裂项为常数/线性式：

$$\dfrac{Any Old Formula}{(Ax+B)(Cx+D)}\rightarrow\dfrac{C_1}{Ax+B}+\dfrac{C_2}{Cx+D}$$

如果原分母为线性式的平方，则如下拆分

$$\dfrac{Any Old Formula}{(Ax+B)^2}\rightarrow\dfrac{C_1}{Ax+B}+\dfrac{C_2}{(Ax+B)^2}$$

如果分母为线性式的k次方，则如下拆分：

$$\dfrac{Any Old Formula}{(Ax+B)^k}\rightarrow\dfrac{C_1}{(Ax+B)}+\dfrac{C_2}{(Ax+B)^2}+…+\dfrac{C_k}{(Ax+B)^k}$$

如果分母为二次式，则如下拆分：

$$\dfrac{Any Old Formula}{Ax^2+Bx+C}\rightarrow\dfrac{C_1x+C_2}{Ax^2+Bx+C}$$

如果分母为二次式的平方，则如下拆分

$$\dfrac{Any Old Formula}{(Ax^2+Bx+C)^2}\rightarrow\dfrac{C_1x+C_2}{Ax^2+Bx+C}+\dfrac{C_3x+C_4}{(Ax^2+Bx+C)^2}$$

1.2. 对裂出来的项积分

1. 线性式的k次方是容易积分的，此处略过。
2. 对于常数*二次分式：

$$\int\dfrac{C_1}{Ax^2+Bx+C}dx$$

先配方，然后按照：

$$\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\tan ^{-1}\dfrac{x}{a}+C$$

进行处理。

3. 对线性式*二次分式：

$$\int\dfrac{C_1x+C_2}{Ax^2+Bx+C}dx$$

先加一项减一项，配成分母的导数，然后将分母的导数之外的地方拆开，前者等于ln|分母|，后者用上面提到的反正切函数。

4. 对分母为线性式的平方，我们需要先看另外一个积分

$$\int\dfrac{x^2}{(x^2+a^2)^2}dx$$

分母次数过高，可使用分部积分降低次数：

$$OF=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x}{(x^2+a^2)^2}d(x^2+a^2)=-\dfrac{1}{2}\int xd\dfrac{1}{(x^2+a^2)}\xlongequal{分部积分}-\dfrac{x}{2(x^2+a^2)}+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx$$

$$-\dfrac{x}{2(x^2+a^2)}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{a}\tan ^{-1}\dfrac{x}{a}+C$$

接下来，我们可以处理

$$\int\dfrac{1}{(x^2+a^2)^2}dx$$

了。我们先对分子进行变形，使之靠近分母：

$$OF=\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{a^2}{(x^2+a^2)^2}dx=\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{a^2+x^2-x^2}{(x^2+a^2)^2}dx$$

从减号处拆开：

$$=\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{a^2+x^2}{(x^2+a^2)^2}dx+\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{-x^2}{(x^2+a^2)^2}dx$$

$$=\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{1}{(x^2+a^2)}dx-\dfrac{1}{a^2}\int\dfrac{x^2}{(x^2+a^2)^2}dx$$

$$=\dfrac{1}{a^3}\tan ^{-1}\dfrac{x}{a}-\dfrac{x}{2(x^2+a^2)}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{a}\tan ^{-1}\dfrac{x}{a}+C$$

就算不是线性式的平方$(x^2+a^2)^2$，我们也可以通过配方解决问题。

例：求不定积分

$$\int\dfrac{x+2}{(x^2+2x+10)^2}dx$$

解：

$$OF=\int\dfrac{\frac{1}{2}(2x+2)+1}{(x^2+2x+10)^2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+2}{(x^2+2x+10)^2}dx+\int\dfrac{1}{(x^2+2x+10)^2}dx$$

最后一个积分可以通过上面的方法解决，现在让我们将目光放到第一个积分：

$$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+2}{(x^2+2x+10)^2}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{(x^2+2x+10)^2}d(x^2+2x+10)$$

神奇的事情发生了。我们由于首先对分子进行了凑微分，对于这一项，我们可以很简单的积出来，它就是：

$$-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+2x+10}+C$$

再来看第二个积分：

$$\int\dfrac{1}{(x^2+2x+10)^2}dx\xlongequal{令x+1=t}\int\dfrac{1}{(t^2+3^2)^2}dt$$

这样就变成了我们上文说过的形式，继续做下去：

$$\int\dfrac{1}{(t^2+3^2)^2}dt=\dfrac{1}{3^2}\int\dfrac{3^2+t^2-t^2}{(t^2+3^2)^2}dt=\dfrac{1}{9}\times\dfrac{1}{3}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}-\int\dfrac{t^2}{(t^2+3^2)^2}dt$$

$$=\dfrac{1}{27}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{t}{(t^2+3^2)^2}d(t^2+3^2)=\dfrac{1}{27}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}+\dfrac{1}{2}\int td(\dfrac{1}{t^2+3^2})$$

$$\dfrac{1}{27}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{2t^2+18}-\int\dfrac{1}{t^2+3^2}dt=\dfrac{1}{27}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}+\dfrac{t}{2t^2+18}-\dfrac{1}{3}\tan ^{-1}\dfrac{t}{3}+C$$

最后化简成

$$-\dfrac{8}{27}\tan ^{-1}\dfrac{x+1}{3}+\dfrac{x+1}{2(x+1)^2+18}+C$$

2. 特殊的有理函数积分法

2.1. 构造x+1/x的积分

$$\int\dfrac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int\dfrac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx$$

注意到分母两项乘积为0，可以改造成

$$\int\dfrac{\frac{1}{x^2}+1}{(x-\frac{1}{x})^2+2}dx=\int\dfrac{1}{(x-\frac{1}{x})^2+2}d(x-\frac{1}{x})$$

仿照反正切函数积分即可得：

$$\int\dfrac{\frac{1}{x^2}+1}{(x-\frac{1}{x})^2+2}dx=\int\dfrac{1}{(x-\frac{1}{x})^2+2}d(x-\frac{1}{x})$$

2.2. 倒代换

对于分母次数>>分子次数的时候，可以考虑倒代换，令分子次数>>分母次数。

$$\int\dfrac{1}{x^8(1+x^2)}dx=-\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^8}(1+\frac{1}{t^2})}\dfrac{1}{t^2}dt$$（令x=1/t）

这道题也可以通过不断在分子$+x^2$然后$-x^2$解决。